极小多项式与特征多项式
特征多项式（算子）
在第一卷里你把矩阵的特征多项式算作 det(xI - A)。隐患在于 A 活在坐标里——那么这个多项式是否暗中依赖于你恰好选的基呢？令人安心的是，并不依赖。相似矩阵有相同的特征多项式，因此该公式系于算子 T 本身，而非它的某个特定矩阵。
无坐标地定义 chi_T(x) = det(xI - T)，其中 det 是算子的无坐标行列式。它是次数恰为 n = dim V 的首一多项式。计入重数，它的根就是 T 的特征值。从它的系数里还白白掉出两样东西：x^(n-1) 的系数是迹的相反数，常数项是 (-1)^n det(T)。
它之所以重要，是因为它制造特征值。令 chi_T(x) = 0 即特征方程，求解它便是求谱的方式。在像 C 这样的代数闭域上，它总能完全分解为线性因子 (x - lambda_1)...(x - lambda_n)，所以算子计入重数总有 n 个特征值——此处根的重数即代数重数。
一个诚实的局限：特征多项式知道特征值及其代数重数，却可能在算子更精细的结构上被蒙蔽。矩阵 [2, 1; 0, 2] 与 2I 共有 chi(x) = (x-2)^2，行为却截然不同。要看穿这一点你需要极小多项式，这正是这两者结伴同行的原因。
A = [0, -2; 1, 3]
chi_A(x) = det(xI - A) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
trace = 3 (= sum of roots), det = 2 (= product of roots)
迹与行列式可直接从特征多项式的系数读出，而它的根 1 与 2 就是特征值。
约定提醒：有些教材把特征多项式定义为 det(A - xI)，它与 det(xI - A) 相差一个 (-1)^n 因子。det(xI - A) 这一约定使其保持首一，这正是多数现代算子理论教材偏好它的原因。
又称
另见