极小多项式与特征多项式
凯莱-哈密顿定理
这是线性代数中一个伟大的惊喜。取一个算子 T，写下它的特征多项式 chi(x) = det(xI - T)，然后——不是把某个数代入 x——而是把算子 T 自身代进去。凯莱-哈密顿定理说你总会得到零：chi(T) = 0。每个算子都满足自己的特征方程。
有一个著名的错误“证明”：“只要把 T 代入 chi(x) = det(xI - T)，得到 det(TI - T) = det(0) = 0。”这是胡说，因为 det(xI - T) 是数 x 的标量值函数，而 chi(T) 是一个算子；你不能把矩阵塞进原本放标量的位置。真正的证明用伴随恒等式 (xI - T) adj(xI - T) = chi(x) I 并比对两边的多项式系数，或诉诸可对角化矩阵的稠密性。
最有用的单条推论是：极小多项式整除特征多项式。凯莱-哈密顿递给你一个次数为 n 的显式零化多项式，即 chi；既然极小多项式整除每一个零化多项式，它就整除 chi。再加上二者共根这一事实，便把极小多项式挤进一个小而可算的候选集合里。
实用上，凯莱-哈密顿让你把 T 的任何高次幂降为次数低于 n 的多项式：用 chi(T) = 0 把 T^n 重写为更低次幂，再递归。它是计算 T^k、矩阵指数，以及——当 T 可逆时——甚至把 T^-1 表示为 T 的多项式的引擎。
A = [1, 1; 0, 1], chi(x) = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
Check: A^2 - 2A + I = [1, 2; 0, 1] - [2, 2; 0, 2] + [1, 0; 0, 1] = [0, 0; 0, 0]
把 A 代入它自己的特征多项式得到零矩阵，恰如凯莱-哈密顿所许诺。
凯莱-哈密顿定理在任意交换环上成立，不限于域，且简洁的伴随证明在那里同样有效。它并不断言 chi 就是极小多项式——只说 chi 零化 T，故极小多项式整除它。
又称
另见