由凯莱-哈密顿求逆

这是凯莱-哈密顿的一个利落推论：当算子 A 可逆时，它的逆是 A 的多项式。你根本无需离开由 A 生成的代数就能找到 A^-1——它一直藏在那里，可用你正在求逆的那同一个矩阵表达出来。

把特征多项式写作 chi(x) = x^n + c_(n-1) x^(n-1) + ... + c_1 x + c_0。凯莱-哈密顿给出 A^n + c_(n-1) A^(n-1) + ... + c_1 A + c_0 I = 0。常数项 c_0 等于 (-1)^n det(A)，它非零当且仅当 A 可逆。从除常数项外的所有项中提出一个 A 并重排：A 乘以 ( -(1/c_0)(A^(n-1) + ... + c_1 I) ) = I，故 A^-1 = -(1/c_0)(A^(n-1) + c_(n-1) A^(n-2) + ... + c_1 I)。

慢慢读这个公式：A^-1 是 I, A, A^2, ..., A^(n-1) 的一个特定线性组合。可逆条件 c_0 != 0 与 det(A) != 0 相同，故此构造恰在逆应当存在时成功。你甚至可用极小多项式代替 chi 得到一个次数更低、更便宜的公式，只要其常数项非零（这同样意味着 0 不是特征值）。

除了是个巧妙的把戏，它在理论上也重要：它证明 A^-1 与一切和 A 交换的对象交换（因为它是 A 的多项式），它表明逆住在交换代数 F[A] 之中，它还支撑符号与精确算术的求逆。数值上它很差——高斯消元稳定得多——但作为结构它是黄金。