余子式（伴随）矩阵

方阵的伴随矩阵是它的余子式矩阵的转置。它存在的全部理由是一个优美的恒等式：A 乘以 adj(A) 等于 det(A) 乘以单位矩阵。这一个方程一次性打包了所有余子式展开的事实，并且当 det(A) 非零时，无需任何行化简就交给你一个闭式逆。

分两步构造。先是余子式矩阵 C，其元素 C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ij}，即拉普拉斯展开中的带符号子式。然后 adj(A) = C^T，即余子式矩阵的转置（注意下标互换）。关键关系是 A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I。对角元是 det(A) 的真正余子式展开；非对角元是“错行”展开，恒为零——这就是全部诀窍。

回报是逆矩阵公式：若 det(A) != 0，则 A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)。这是“可逆等价于 det(A) != 0”最干净的证明，并逐元素地展示逆如何依赖于 A。即便 A 奇异，恒等式仍成立（只是变为 A * adj(A) = 0），且 adj 在证明、克拉默法则、以及对行列式求导（adj 的元素出现在 d det / d a_{ij} 中）里依然有用。

注意：作为实际计算逆的手段，伴随在 n 大于 3 时很糟糕——它需要 n^2 个子式，而每个本身又是一个行列式。真正干活请用高斯消元或 LU。把伴随珍视为理论与符号工具，而非数值工具，并留意转置：忘记 C^T 与 C 之别是经典错误。