克拉默法则

克拉默法则把方形线性方程组中的每个未知数写成两个行列式之比。要求 x_k，分母取 det(A)，分子则把 A 的第 k 列换成右端 b 后取那个行列式，再相除。它是一个极其显式的公式——每个解坐标都纯粹用数据的行列式写出。

确切地说，对 A x = b 且 A 可逆（det(A) != 0），解为 x_k = det(A_k) / det(A)，其中 A_k 是把 A 的第 k 列换成 b 所得。证明纯靠多重线性：det(A_k) 是把第 k 列换成 b = x_1*(列 1) + ... + x_n*(列 n) 后 A 的行列式；对该列按线性展开，交替性消去除携带 x_k 乘 det(A) 那一项外的所有项。

它的价值是概念性与理论性的。克拉默法则证明解恰在 det(A) != 0 时存在且唯一，并展示每个 x_k 如何光滑地（有理地）依赖于 A 与 b 的元素——这对敏感性分析、符号解与存在性证明极有价值。它还让与伴随的联系一目了然：它不过是逐列读出逆矩阵公式 A^-1 = adj(A)/det(A)。

注意：不要用它来计算。对 n 个未知数它要求 n+1 个行列式，每个本身就昂贵，工作量远超高斯消元的 O(n^3)——而且在接近奇异的 A 附近数值脆弱，两个近零行列式之比不稳定。克拉默法则用于理解、用于极小或符号系统，而非生产求解。