拉普拉斯展开

拉普拉斯展开沿某一行（或某一列）行走，把每个元素乘以删去该元素所在行与列后所得较小矩阵的行列式，再配上正负交替的棋盘符号求和，从而计算行列式。它把一个 n 阶行列式化为 n 个较小的 (n-1) 阶行列式的加权和——一路递归直到 1x1。

沿第 i 行展开：det(A) = 对 j 求和 a_{ij} * C_{ij}，其中余子式 C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ij}，子式 M_{ij} 是划去第 i 行与第 j 列后 A 的行列式。符号模式 (-1)^(i+j) 即棋盘 +, -, +, ...；你可沿任意一行或任意一列展开，得到相同的答案。

它由多重线性自然导出，故可证明而非死记。把所选行写成由其各元素加权的标准基向量之和 e_1 + ...，再用对该行的线性把行列式拆成 n 块；每块是一个元素乘以该行放着一个基向量的行列式，在交替记账之后恰是带符号的子式。唯一性确认结果就是 det。

注意：作为数值方法它比表面更糟——完全展开的代价约为 n! 次运算，与莱布尼茨撞上同一堵墙。它真正的用途是理论性的与小规模的：导出伴随矩阵与逆矩阵公式、手算 3x3 或 4x4、以及利用某行或某列稀疏（多数 a_{ij} 为零，故多数项消失）的便利。