莱布尼茨公式

莱布尼茨公式把行列式逐项写成一个求和：枚举所有“从每行每列各取一个元素”的方式，并给每种方式配上正负号。对 n 阶矩阵它有 n! 项——3x3 有六项，4x4 有二十四项——这正是为何它是理论上珍视、却从不用来计算大矩阵的定义。

形式上，det(A) = 对所有置换 sigma 求和 sign(sigma) * a_{1,sigma(1)} * a_{2,sigma(2)} * ... * a_{n,sigma(n)}。置换 sigma 是 {1, ..., n} 的一个双射：它为每一行 i 指定取元素的列 sigma(i)，保证每行每列恰取一个。因子 sign(sigma) 按置换的奇偶性取 +1 或 -1，它是交替公理的直接指纹。

你可以直接从刻画推出它，而非死记。把 A 的每一列在标准基下写开，用多重线性把 det 展成一个巨大求和；交替性使所选列重复某基向量的每一项归零，故只有由置换标记的项存活；把每个存活的乘积重排回标准次序，便恰好产生那个符号因子。唯一性保证这个求和就是行列式。

注意：n! 增长得凶猛，故莱布尼茨在小矩阵之外计算上毫无希望（20! 已超过 10^18）。真正的计算用高斯消元（经由行化简的 O(n^3) 路线）或 LU；莱布尼茨的价值在于作为证明之源、余子式展开的根基，以及通向置换符号的桥梁。