置换的符号

置换的符号是单独一个 +1 或 -1，记录该置换由偶数次还是奇数次对换构成。用一连串两两交换来洗一副牌：无论用哪条交换序列到达某个给定排列，那个排列所需的交换次数总是恒为偶或恒为奇。符号恰好抓住这个固定的奇偶性。它是每个行列式内部正负号的唯一来源。

对换是最简单的置换：它交换两个元素，其余不动。每个置换都可分解为若干对换，尽管分解远非唯一，其奇偶性（偶或奇）却是不变量。定义 sign(sigma) = +1，若 sigma 可分解为偶数个对换；= -1，若为奇数个。等价地，sign(sigma) = (-1)^(逆序数)，其中一个逆序是满足 i < j 而 sigma(i) > sigma(j) 的一对。

为何在此重要：交替公理说交换两个变元会使行列式变号。把这一交换逐次施加以还原一个置换，累积起来恰是 sign(sigma)——这正是该因子坐在每个莱布尼茨项前面的原因。符号还是一个群同态，sign(sigma tau) = sign(sigma) sign(tau)，这一乘性正是 det(AB) = det(A) det(B) 背后的引擎。

注意：奇偶性是良定义的，但对换的个数不是——只有它的奇/偶类是固定的。不要试图靠数任意一条交换序列的长度来读出符号；要数逆序，或分解为不相交的轮换，其中长度为 L 的轮换贡献符号 (-1)^(L-1)。