行列式的乘性

乘积法则说乘积的行列式等于行列式的乘积：det(AB) = det(A) det(B)。它是关于行列式最有用的单条事实，而从体积视角看几乎显然——先施加映射 B（把体积按 det B 缩放），再施加映射 A（按 det A 缩放），总的体积缩放就是二者之积。缩放的复合即相乘。

干净的证明用唯一性刻画。固定 A，把 D(B) = det(AB) 看成 B 各列的函数。因为 AB 只是把 A 作用于 B 的每一列，D 对这些列是交替且多重线性的，故由唯一性 D(B) = c * det(B)，其中 c 为某常数。在 B = I 处求值得 c = det(A)。于是对一切 B 有 det(AB) = det(A) det(B)，且未算一个矩阵元素。

后果接踵而至。det(A^-1) = 1/det(A)，因为 det(A) det(A^-1) = det(I) = 1，这也再次证明可逆迫使 det != 0。行列式在相似下不变：det(P^-1 A P) = det(A)，因为 det(P) 与 det(P^-1) 相消——而这一不变性正是让我们能无基地定义算子行列式的依据。它还给出 det(A^T) = det(A)，以及分块三角矩阵的行列式等于各分块行列式之积。

注意：法则关乎乘积，而非求和。一般地 det(A + B) 并不等于 det(A) + det(B)——没有简单的加法律，因为体积缩放在矩阵相加下并不线性。另外，对 n 阶矩阵 det(cA) = c^n det(A)，而非 c det(A)；标量被升到维数次方，因为它一次缩放盒子的全部 n 条棱。