作为带符号体积的行列式

关于行列式最干净的心象：把一个矩阵的 n 个列向量喂给它，它返回这些列所张成的盒子（平行多面体）的带符号 n 维体积。二维时是两个向量上平行四边形的带符号面积；三维时是三个向量上平行多面体的带符号体积。“带符号”意味着它还用正负号记录定向。

因为 det 是单位立方体的像的带符号体积，所以 det(A) 恰是线性映射 A 缩放任何体积的倍数：体积为 V 的区域被送到体积为 |det(A)| * V 的区域。若 det(A) = 0，立方体被压扁进更低的维度（列线性相关）；若 det(A) 为负，映射把盒子翻里作面，颠倒了手性。

这一几何解读毫不费力地解释了代数。多重线性是“一条棱加倍，体积加倍”。交替性是“两条棱相等意味着扁平的零体积盒子”。乘性 det(AB) = det(A) det(B) 是“先做一次体积缩放，再做一次，缩放倍数相乘”。你可以靠画图重新推出这些法则。

注意：这里的“体积”是与标准基绑定的自然（勒贝格）体积；符号依赖于所选的定向。对一个算子而言，数 det(A) 是无基的，但“单位体积为 1”这一概念本身要求你声明一个参照盒子。换掉这个参照，“体积”的绝对尺度就会改变，尽管体积之比——从而算子的 det——不变。