定向

定向是手性的抽象版本：在右手坐标架与左手坐标架之间的选择。在平面上是顺时针对逆时针；在空间中是右手定则对它的镜像。维数至少为一的实向量空间恰有两个定向，选定其一就是规定哪些有序基算作“正向”排列。

行列式是定向的记账员。两组有序基给出相同的定向，当且仅当它们之间的换基矩阵行列式为正；行列式为负则意味着它们手性相反。等价地，线性映射 T 在 det(T) > 0 时保定向，在 det(T) < 0 时反定向。行列式的符号承载了这全部定性内容，与大小（体积缩放）相分离。

凡“翻转”有意义之处此事就重要。反射的行列式为 -1（它反转手性），而旋转的行列式为 +1（它保持手性）；这正是为何旋转构成行列式为 1 的正交矩阵所成的特殊正交群 SO(n)。在微积分中，雅可比的符号告诉你换元是保定向还是翻转定向，这控制着斯托克斯型积分定理中的符号。

注意：定向是实数现象。在复数上 det 可以是任意非零复值，没有“正”的概念，故复向量空间在此意义下没有两向的定向（非零复标量是连通的）。另外，大小与符号是独立的职责：|det| 度量拉伸，sign(det) 度量翻转；一个映射可以只做其一、二者兼做、或两者都不做。