雅可比行列式

雅可比行列式是多元映射一阶偏导数矩阵的行列式。它是局部的体积缩放因子：足够靠近一点放大，光滑的非线性映射看起来就像线性映射（即它的导数），而这个线性近似的行列式告诉你映射在该点附近把微小体积拉伸或压缩多少——并含符号以指示是否翻转定向。

对从 R^n 到 R^n、分量为 F_1, ..., F_n 的映射 F，雅可比矩阵为 J = [ partial F_i / partial x_j ]，雅可比行列式即 det(J)，常记作 det(DF) 或带竖线的偏导符号。它逐点变化，因为线性近似随你移动而改变；它正是把“作为体积的行列式”这一思想施加于 F 在每处的最佳线性模型。

这是行列式理论与微积分的相遇，其招牌角色是积分的换元公式：当你换入新坐标时，被积函数会乘上 |det(J)| 因子，因为这正是换元对体积元 dV 的重新缩放倍数。反函数定理同样以它为枢纽——F 在一点附近局部可逆，当且仅当它在该点的雅可比行列式非零，呼应着线性世界里“det != 0 即可逆”。

注意：在换元积分中用雅可比的绝对值（体积为正）；det(J) 的符号另行记录定向，在定向积分理论中很重要。还有，一点处雅可比非零只给出局部可逆，而非全局——一个映射可以处处局部一一，却在全局上绕回（极坐标是标准的警示例子）。