算子的行列式

行列式通常附着于矩阵，但更深的对象是线性算子的行列式——即从有限维空间 V 到自身的映射 T，无需提及任何基。任取一组基，把 T 写成矩阵，取该矩阵的行列式：所得的数不依赖于你所选的基。于是 det(T) 是算子本身的真正不变量。

为何良定义：换基把矩阵 [T] 替换为 P^-1 [T] P，P 为某可逆矩阵。由乘性，det(P^-1 [T] P) = det(P^-1) det([T]) det(P) = det([T])，因为 det(P^-1) det(P) = 1。共轭因子恰好相消，故每组基给出同一个数。这一相似不变性正是 det(T) 有意义的全部原因。

无坐标地读，det(T) 是 T 在 V 上缩放定向体积的倍数——与你如何建立坐标无关，因为体积之比与之无关。漂亮的高观点定义用最高次外幂：T 在最高交替形式构成的一维空间上诱导一个线性映射，而对一维空间的乘法不过是按某数缩放；那个数就是 det(T)，全程无需任何基。

注意：det(T) 需要定义域等于陪域的有限维空间（一个算子，V -> V），且维数须有限——一般无穷维空间上的算子没有行列式（希尔伯特空间上特殊的“行列式类”算子带有精细的弗雷德霍姆行列式，那是另一个故事）。对非方阵，det 干脆没有定义。