基变换（change of basis）

基变换，是一门用另一组参考方向来描述同一批向量和映射的艺术。空间里的箭头根本没动；变的只是我们给它们起名所用的数字，就像在两张不同的街道网格上读出同一个地点。

为什么要费这个事？因为合适的坐标系能把难题变简单。一个在标准基下看起来错综复杂的变换，换到精心挑选的一组基下，可能就成了沿各坐标轴的简单拉伸。在许多应用数学里，选好坐标轴就已经赢了一半。

当你切换坐标系时，一个变换的矩阵会变成 B^(-1) A B 的形式，其中 B 把新的基向量作为它的各列。这一串夹心式的乘法，先翻译成新语言，做完工作，再翻译回来。矩阵换了模样，但底下的映射丝毫未动。