坐标向量（coordinate vector）

一旦你固定了一组基——一组选定的参照向量——空间里的每个向量就获得了一串整齐的数字，称为它的坐标向量。这些数字不过是：要用基向量的线性组合重新拼出原来那个向量时，你所需要的权重。基就是「量尺」，而坐标向量记录的是：为了到达你的目标，每根量尺你各放了多少根。

一个关键而常常出人意料的要点是：同一支箭，在不同的基下拥有不同的坐标。箭本身并没有动；变的只是你拿来量它的那些尺。我们随手为一个向量写下的数字 (3, 1)，其实是它在标准基 (1, 0) 与 (0, 1) 下的坐标——我们只是很少把这点说出口。换成另一组倾斜的基，那支一模一样的箭就会得到一串全新的数字。

一个小例子：在标准基下，v = 3*(1, 0) + 1*(0, 1)，所以它的坐标向量是 (3, 1)。现在选取基 b1 = (1, 1) 和 b2 = (1, -1)。同一个 v 可以写成 2*b1 + 1*b2 = (3, 1)，所以在这组新基下它的坐标向量是 (2, 1)。同一支箭，两串不同的坐标——你得到哪一串，完全取决于你选的基。