行列式的唯一性

关于行列式最深刻的事实是：本质上只有一个。在所有给 n 阶方阵赋一个数的函数里，恰有一个对列交替、对列多重线性、且在单位矩阵上取 1。那个函数就是行列式。其余一切——莱布尼茨求和、余子式展开、乘积法则——都不过是这同一个对象换了身衣裳。

确切陈述：设 D 把 n 个列向量映为一个标量。若 D（一）对每列线性，（二）当两列相等时为零（交替），（三）在标准基上 D(e_1, ..., e_n) = 1，则 D 被唯一确定且等于 det。证明梗概：用多重线性把每列在标准基下展开；交替性消掉一切含重复下标的项，只剩由置换标记的项；条件（三）钉住它们共同的尺度。存活下来的求和恰是莱布尼茨公式。

这就是刻画与公式之别。公式（如莱布尼茨或拉普拉斯）告诉你怎么算；刻画告诉你这东西是什么，于是任何满足这三条性质的对象都被迫与它重合。这就是为何你能不碰任何一个元素就证明 det(AB) = det(A)det(B)：只需验证 B -> det(AB) 是交替多重线性的，比较它在单位矩阵处的值，唯一性即收尾。

注意：去掉归一化（三），唯一性只损失一个标量倍——n 个向量上的交替多重线性函数构成一个一维空间，故任意两个相差一个常数。归一化为在单位矩阵上取 1，就选出了那个典范代表。这一维性正是最高次外幂为一条直线的代数影子。