多重线性映射

多重线性映射接收若干个向量作为输入，并在固定其余位置时对每一个位置分别是线性的。把它想成一台有 k 个输入端口的机器：扰动某一个端口（在那里缩放一个向量，或把两个向量相加），输出就线性地响应；其余端口则像常数一样保持不动。行列式是最著名的例子，它一次吃进 n 个列向量。

确切地说，从 V_1 x ... x V_k 到 W 的映射 f 称为多重线性（或 k 重线性），若对每个下标 i，固定除第 i 个以外的所有变元后，它在该变元上是普通的线性映射：f(..., a*u + b*v, ...) = a*f(..., u, ...) + b*f(..., v, ...)。线性必须对每个位置都成立，但不是联合成立——f(2v_1, 2v_2) 一般等于 4*f(v_1, v_2)，而非 2*f(v_1, v_2)，所以多重线性映射几乎从不是乘积空间上的线性映射。

这正是行列式所属的类。一旦你把 det 看成多重线性映射的一种——确切说是交替的那种——它那些看似古怪的法则（变号、沿一行展开、乘积公式）就不再是技巧，而成为推论。多重线性还通向张量：在那里，一个 k 重线性映射本身就是一个 k 阶张量。

注意：不要把多重线性与线性混淆。像点积这样的双线性型，对 u 线性、对 v 也线性，但映射 (u, v) -> <u, v> 在这一对上并不线性，因为同时缩放两个输入会使输出按平方倍变化。把“固定其余、对每个位置线性”当作口诀，可避免这一失误。