极小多项式与特征多项式
多项式函数演算
函数演算是把算子喂进函数的艺术。多项式函数演算是最基础的版本：给定多项式 p 与算子 T，构造 p(T)。使它成为一种“演算”而非单纯代入的，是它表现得像真正的函数应用——函数之和给出算子之和，积给出积，常数给出 I 的标量倍。
底层的结构性事实是求值同态 p -> p(T)。因为它是环同态，多项式间的代数恒等式逐字转移到算子上。若作为多项式有 p(x) q(x) = r(x)，则作为算子自动有 p(T) q(T) = r(T)。你可以在 F[x]——一个舒适的交换世界——里做代数，再把答案读作算子。
关键的约化原则：任何 p(T) 都已由 p 模极小多项式所决定。既然 m(T) = 0，两个模 m 相等的多项式产生同一个算子。所以 T 的多项式构成的代数其实是有限维代数 F[x]/(m)，而每个 p(T) 都可被一个次数低于 deg(m) 的代表替换。这就是你把计算控制在有界范围内的方法。
回报既具体又出人意料。当 T 可逆时你可把 T^-1 写成 T 的多项式；那些你料想不到会是多项式的函数——某个选定的分支、一个谱投影——经由插值都成为 T 的多项式；而对自伴或正规算子，这套多项式演算扩展为处理 sqrt、exp 乃至更多的连续函数演算。多项式情形是这一切的种子。
p(T) q(T) = (pq)(T), (p + q)(T) = p(T) + q(T)
p(T) depends only on p mod m_T
dim F[T] = deg(m_T)
多项式函数演算把多项式恒等式变成算子恒等式，而极小多项式封顶了 T 的多项式代数能有多大。
代数 F[T] 的维数等于 deg(m)，即极小多项式的次数——而非 n。所以即便是庞大的算子，其多项式代数也可能很小：对任意标量算子 cI，代数 F[T] 仅为标量，因为 m(x) = x - c 次数为 1。
又称
另见