插值与谱投影

设 T 可对角化，具相异特征值 lambda_1, ..., lambda_k。我们很想为每个特征值造一个算子 P_i，沿其余特征子空间投影到它的特征子空间上。值得注意的是，你可以把每个 P_i 显式写成 T 的多项式——而其配方正是经典的拉格朗日插值，从数搬到了算子上。

回忆拉格朗日基多项式 L_i(x) = prod_(j != i) (x - lambda_j) / (lambda_i - lambda_j)。它被造得满足 L_i(lambda_i) = 1 且 L_i(lambda_j) = 0（j != i）。现在在算子处求值：令 P_i = L_i(T)。因为多项式按其在每个特征值处的取值作用于相应的特征向量，P_i 在 lambda_i-特征子空间上作用为 1，在其余每个特征子空间上为 0——恰是谱投影。

这些投影白白满足谱恒等式：它们是幂等的（P_i^2 = P_i），作为算子两两正交（i != j 时 P_i P_j = 0），且加起来为恒等（sum P_i = I，这正是插值陈述 sum L_i(x) = 1）。此外 T 自身重建为 T = sum lambda_i P_i——谱分解——而 T 的任意函数 f 都成为 f(T) = sum f(lambda_i) P_i。

为何这很美：它表明谱投影并非外加在 T 上的额外数据，而是住在代数 F[T] 之内；它们是算子的多项式。它还给出可对角化算子拥有干净函数演算的一个利落、无需计算的证明，并且可推广——对不可对角化的 T，埃尔米特插值（同时匹配导数）产生投影外加幂零部分。