极小多项式与特征多项式
极小多项式可对角化判据
这是迄今发现的最干净的可对角化判据：算子 T 可对角化当且仅当它的极小多项式分解为相异的线性因子——即 m(x) = (x - lambda_1)(x - lambda_2)...(x - lambda_k)，所有 lambda_i 互不相同且无重根。平方因子正是确切的障碍。
直观上，极小多项式中的重复因子 (x - lambda)^2 表明某个向量要被 (T - lambda I) 击中两次才消亡——这是一个并非诚实特征向量的广义特征向量。这恰是约当块内部的剪切，对角矩阵做不到的事。没有重复因子意味着每个向量都分解为真正的特征向量，这就是可对角化性。
证明为何成立：若 m 有相异根，则因子 (x - lambda_i) 两两互素，故由准素分解空间裂为各个 (T - lambda_i I) 的核，每个都是普通的特征子空间；把它们的基拼起来便得特征基。反过来，若 T 在相异特征值 lambda_i 下可对角化，则 prod (x - lambda_i) 已零化 T，故极小多项式整除它，从而也只有相异的线性根。
与第一卷的判据（数特征向量并检查几何重数之和是否为 n）相比，这往往更快也更干净：你算出一个多项式并检视它是否有重根。一个顺手的特例：任何有 n 个相异特征值的算子自动可对角化，因为此时 chi 本身已有相异根，逼得 m 也如此。
A = [2, 0; 0, 5]: m(x) = (x-2)(x-5) -> distinct -> diagonalizable
B = [2, 1; 0, 2]: m(x) = (x-2)^2 -> repeated -> NOT diagonalizable
直接从极小多项式读出可对角化性：A 是相异线性因子，亏损的 B 是平方因子。
把同一想法推广：T 是半单的当且仅当其极小多项式无平方因子（即相异不可约因子之积，未必为线性）。在代数闭域上，半单与可对角化重合，因为此时一切不可约因子都是线性的。
又称
另见