可对角化判据

对角化一个矩阵，意味着找到一组坐标，使它在其中表现为纯粹的伸缩——A = P D P^-1，其中 D 为对角矩阵。并非每个矩阵都能如此。可对角化判据就是那份简明的检查表，它在你动手做任何繁重计算之前，告诉你这个梦想能否实现。

有三个等价的判据，任取其一即可定夺。其一：A 可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数。其二（等价）：当且仅当特征向量张成整个空间，即存在一组特征向量基。其三：当且仅当 A 的极小多项式分解为互异的一次因子——极小多项式无重根。三者抓住的是同一个事实：有足够多的独立特征向量。

一个好用的充分（但非必要）捷径：若 n 阶矩阵有 n 个互异特征值，则它自动可对角化，因为互异的特征值迫使特征向量独立。逆命题不成立——[3, 0; 0, 3] 有重特征值却本身已是对角的。而谱定理保证：每个实对称（或复 Hermitian）矩阵都可对角化，事实上还能用一组标准正交特征向量基对角化。