代数重数

把特征多项式分解因式时，每个特征值都是它的一个根，有时还不止出现一次。特征值 lambda 的代数重数，就是因子 (x - lambda) 在这个分解中出现的次数。若特征多项式为 (x - 3)^2 (x - 5)，则 3 的代数重数为 2，5 的代数重数为 1。

严格地说：对 n 阶矩阵 A，把特征多项式 p(x) = det(xI - A) 在代数闭域上分解为一次因子的乘积。lambda 的代数重数是使 (x - lambda)^k 整除 p(x) 的最大 k。由于 p 的次数为 n，所有特征值的代数重数之和恰好等于 n（在 C 上计数，多项式总能完全分解）。

这个数就是“按重数计算”的特征值个数，它为几何那一侧设定了上限。lambda 的独立特征向量个数永远不能超过它的代数重数。当每个特征值的两种重数都相等时，矩阵可对角化；当代数重数超过几何重数时，矩阵是亏损的，需要用 Jordan 块来处理。