特征方程

特征方程是一举产生全部特征值的那一个方程：det(A - lambda I) = 0。它形式化地陈述了：何时一个数 lambda 能让 A - lambda I 把某个方向压成零——也就是 A 何时真有对应 lambda 的特征向量。求解它，是手算特征值的教科书路径。

推理很短。A v = lambda v 且 v 非零，意味着 (A - lambda I) v = 0 有非零解，这恰发生在 A - lambda I 奇异之时，而这又恰发生在其行列式为零之时。所以 det(A - lambda I) = 0 正是 lambda 为特征值的精确条件。展开这个行列式得到一个关于 lambda 的多项式——特征多项式——其次数等于矩阵的维数 n。

由于方程次数为 n，n 阶矩阵有按重数计算的 n 个特征值（在 C 上）。根可以重复（给出重数），即便对实矩阵也可以是复数。求解特征方程对小型或有结构的矩阵尚可，但对大型矩阵在数值上不稳定；实用软件改用迭代方法求特征值，绝不会真的去对这个多项式求根。