特征理论与对角化
几何重数
代数重数计的是特征值作为多项式根出现的次数；几何重数计的则是更具体的东西——有多少个真正独立的方向被这个特征值伸缩。它就是 lambda 所对应的线性无关特征向量的个数，也等于特征子空间的维数。
形式地说，lambda 的几何重数是 dim ker(A - lambda I)，即 A - lambda I 零空间的维数。由秩零定理，它等于 n - rank(A - lambda I)。一条基本定理指出，几何重数总是至少为 1（一个特征值至少有一个特征向量），且永远不超过代数重数：1 <= 几何 <= 代数。
这两者之间的差距正是可对角化问题的全部戏码。当每个特征值都满足几何 = 代数时，你就有足够的特征向量凑成一组基，矩阵可对角化。只要有一个特征值满足几何 < 代数，矩阵就是亏损的：它缺少特征向量，无法对角化——你必须上升到广义特征向量和 Jordan 形才能补全图景。
A = [2, 1; 0, 2]: alg.mult(2) = 2 but geom.mult(2) = 1 (only one eigenvector direction)
这个 2x2 矩阵有二重根 lambda = 2，却只有一个独立特征向量，因此是亏损的。
便于记忆：几何重数关乎几何（真实的特征向量方向），代数重数关乎代数（多项式的根）。几何只会输给代数，绝不会反超。
又称
另见