极小多项式与特征多项式
极小多项式与特征值
极小多项式与特征多项式看似可能携带不同的信息，但在一个问题上它们完全一致：它们的根相同，且这两个根集恰是算子的特征值。它们分歧的是重数，而非成员。
原因如下。若 lambda 是带特征向量 v 的特征值，则对任意多项式 p 有 p(T)v = p(lambda)v。于是若 p 零化 T，则 p(lambda)v = 0，而 v 非零，故 p(lambda) = 0——每个特征值都是每个零化多项式的根，极小多项式亦在其列。反过来，极小多项式的根 lambda 必为特征值，因为 (x - lambda) 整除 m，而 m(T) = 0 中相应的因子逼得 T - lambda I 不可逆。
因此这两个多项式在分裂域上分解为 chi(x) = prod (x - lambda_i)^a_i 与 m(x) = prod (x - lambda_i)^b_i，跑遍相同的相异特征值 lambda_i，指数满足 1 <= b_i <= a_i。这里 a_i 是代数重数，b_i 是 lambda_i 处最大约当块的大小——极小多项式记录的是最坏情形的块，而非总数。
这极为有用：要找极小多项式，先找出相异特征值（即根），再通过测试使 (T - lambda_i I)^b_i 在广义特征子空间上为零的最小幂来确定每个指数 b_i。特征值替你完成了一半的工作。
Jordan matrix with blocks J_3(2), J_1(2), J_2(5):
chi(x) = (x-2)^4 (x-5)^2
m(x) = (x-2)^3 (x-5)^2 (exponents = largest block at each lambda)
两个多项式都携带特征值 2 与 5；特征多项式的指数计入所有块的大小，极小多项式的指数只记录每个特征值处最大的块。
相同的根，可能更小的指数——这一行就是全部关系。极小多项式中 (x-lambda) 的指数等于 lambda 的指数，即其最大约当块的大小；特征多项式中它等于代数重数，即 lambda 处约当块的总大小。
又称
另见