约当块

约当块是最小的不可对角化构件。大小为 k 的约当块 J_k(lambda) 是一个 k 阶方阵：对角线上一路重复着特征值 lambda，超对角线（对角线右上方紧挨的位置）上是 1，其余全为零。大小为 1 的块就是标量 [lambda]。

每个约当块只有一个特征值 lambda，其代数重数为 k（它在对角线上出现 k 次），但几何重数恰为 1——特征子空间是一维的，由第一个标准基向量张成。代数重数与几何重数之间的这道缺口，正是对角化无法弥补的，也正是那些非对角线上的 1 所记录的。

为何不可分解：一个约当块无法拆成更小的不变子空间的直和；它是这套理论的原子。整个约当标准形不过是这些原子的直和（分块对角的堆叠）。把 J_k(lambda) 写成 lambda*I + N，其中 N 是超对角线上为 1 的幂零移位矩阵，就把“缩放”部分 lambda*I 与“移位”部分 N 分开，使求幂、求 exp 之类的公式变得简单。

关于约定的一点提醒：有些作者把 1 放在次对角线（subdiagonal）上。两种约定给出的块互为转置（因而相似），所以分类是相同的；读取具体元素前先确认你的书用的是哪一种。