约当标准形

并非每个矩阵都能对角化。约当标准形是我们总能达到的最接近对角的结果：在复数域上，每个方阵 A 都相似于一个分块对角矩阵 J = diag(J_1, ..., J_m)，其中每个 J_k 是一个约当块——几乎对角，只是对角线正上方可能出现一些 1。它回答了一个普遍的问题：“通过选取合适的基，我能把 A 化得多简单？”

确切地说：存在可逆矩阵 P 使得 P^-1 A P = J，其中 J 是分块对角的，每个块 J_k(lambda) 是上三角矩阵，对角线上是同一个重复的特征值 lambda，超对角线上是 1。特征值恰好是特征多项式的根；各块的大小与个数由 A 唯一确定。可对角化矩阵就是每个块大小都为 1 的特殊情形。

它之所以重要，是因为这是一个完整的分类：两个复矩阵相似，当且仅当它们有相同的约当形（块的排列顺序不计）。所以这个形是一种指纹。需要注意的是它生活在 C 上——你需要一个代数闭域，使特征多项式能完全分解。在 R 上你可能要转到复数，或者改用实约当形。

它在理论与证明中极为有用，但在数值上很脆弱：极小的扰动就能把一个约当块拆散，因此浮点计算中人们通常更愿意用 Schur 形或 SVD。用约当形去“理解”一个矩阵，而不是用它来做计算。