可对角化作为特殊约当形

对角化是你在初阶课程里遇到的顺利情形：当存在完整的特征基时，A = P D P^-1，其中 D 对角。约当形是普适的升级：每个 C 上的算子都有一个，而可对角化不过是每个约当块大小都为 1 的情形——根本没有超对角线上的 1。

分界线是代数重数与几何重数之间的缺口。A 可对角化，恰当对每个特征值，几何重数都等于代数重数——等价地，当极小多项式没有重根时。任何特征向量不够的特征值（亏损特征值）都会逼出一个大小 >= 2 的块，得到一个真正非对角的约当形。

所以约当形以尽可能干净的方式推广了对角化：它保留了对角化所给的一切（与算子适配的基、易算的幂、易算的函数），只添加了恰到好处的额外结构——约当链、非对角线上的 1——以覆盖单个特征基触及不到的亏损算子。

实践上这把“A 可对角化吗？”改写为“所有约当块的大小都是 1 吗？”，秩跳跃公式可从核维数回答这个问题。它也解释了为何可对角化矩阵是“一般的”：随机矩阵以概率 1 有互异特征值，故全是大小 1 的块；亏损是测度为零的例外情形，而约当形正是为处理它而生。