约当形的唯一性

存在性说每个复矩阵都“有”约当形。唯一性说它本质上只有“一个”：约当块的清单——出现哪些特征值、各有哪些块大小——完全由 A 决定。唯一的自由是你把这些块沿对角线排列的顺序。

确切地说：若 P^-1 A P = J 与 Q^-1 A Q = J' 都是 A 的约当形，则 J 与 J' 有相同的块多重集，故 J' 由 J 重排块而得（特征向量／链则可不同）。证明就是秩跳跃公式：对每个 lambda，数 dim ker(A - lambda*I)^k 在相似变换下不变，而它们钉死了每个块的大小，没有任何选择余地。

这正是约当形成为真正标准形的原因：它是相似类的一个代表元，至多差一个平凡的重新标号而唯一。固定一种排序约定（比如先按特征值、再按块大小递减），这个形就字面意义上唯一了——每个相似类一个范式。

回报是分类定理：两个复矩阵相似，当且仅当它们有相同的约当形。唯一性正是把“仅当”这个方向说锐利了——同一个算子，同一组块，毫无歧义。