由约当形得到相似不变量

两个矩阵何时是“换了身衣服的同一个算子”？当它们相似时：B = P^-1 A P（对某个可逆 P）。约当形完整地回答了分类问题：两个复矩阵相似，当且仅当它们有相同的约当形（相同的特征值与相同的块大小），块的排序不计。

所以 C 上完全的相似不变量集合是：特征值的清单，连同每个特征值的块大小分拆。无需其他，也不能省略。等价地，这些不变量就是所有的数 dim ker(A - lambda*I)^k，秩跳跃公式把它们化为块大小。

你已熟知的较粗的不变量——迹、行列式、特征多项式、秩、乃至极小多项式——都是约当数据的函数，但单凭哪一个都不完整。例如特征多项式钉死了特征值与代数重数，却定不住块大小；[lambda, 1; 0, lambda] 与 lambda*I 有相同的特征多项式，却不相似。

经典不变量中极小多项式最接近完整：它在 lambda 处的次数等于 lambda 的最大块大小。所以极小多项式等于特征多项式，恰好意味着每个特征值只有一个块（非减次／循环矩阵）。但要恢复所有块大小，你仍然需要完整的约当分拆。