约当块的函数

怎么把一个函数 f（如 exp、sqrt 或多项式）作用到矩阵上？在单个约当块上，答案优美而显式：f(J_k(lambda)) 是上三角的，对角线上是 f(lambda)，往上的各条超对角线依次是 f'(lambda)、f''(lambda)/2!、...——即 f 在 lambda 处的泰勒系数。

把 J 写成 lambda*I + N，其中 N 是幂零移位（N^k = 0）。则形式上 f(J) = sum（j>=0）f^{(j)}(lambda)/j! * N^j，由于 N^k = 0，这个和在 k 项后终止。因为 N^j 在第 j 条超对角线上为 1，所以 f(J) 的 (p,q) 元在 q >= p 时为 f^{(q-p)}(lambda)/(q-p)!，对角线以下为 0。只有 f(lambda), f'(lambda), ..., f^{(k-1)}(lambda) 这些值有关系。

这是矩阵函数演算的引擎。要对一般 A 计算 f(A)：换到约当基使 A = P J P^-1，用上面的泰勒公式逐块作用 f，再共轭回去：f(A) = P f(J) P^-1。只要 f 在每个特征值附近解析（且所需导数存在），它就成立。

正是这条注意点让约当形在此不可或缺：对一个亏损（defective）矩阵，你确实需要导数，而不只是值 f(lambda)。一个仅仅可对角化的矩阵只会在每个特征值上用 f(lambda)；超对角线上的那些导数项，恰恰是非对角线上的 1 留下的印记。