矩阵平方根

矩阵 A 的平方根是任意满足 B^2 = A 的 B。它何时存在？有多少个？怎么构造？约当形加函数演算同时回答这三问，办法是把问题逐块地归约到单个约当块上，那里 sqrt 变成一次泰勒级数计算。

在 lambda != 0 的单个约当块 J_k(lambda) 上，函数 f(x) = sqrt(x) 解析，故 f(J) 由“约当块的函数”公式算出：对角线上是 sqrt(lambda)，sqrt 在 lambda 处的各阶导数沿超对角线上升。给 sqrt(lambda) 选定一个分支就得到该块的一个平方根；逐块这样做（再共轭回去）便得到 A 的一个平方根。

存在性与唯一性取决于特征值 0。若 A 可逆（无零特征值），平方根总存在，且有一个特出的“主”平方根（特征值落在右半平面的连续分支）。平方根的个数随每个特征值的分支选择而增长；对一个可逆、可对角化且特征值互异的 A，共有 2^(特征值个数) 个。

微妙的情形是奇异的 A。一个大小 >= 2 的幂零约当单块没有平方根，因为 sqrt 在 0 处不解析，且链结构构成阻碍（例如 2x2 幂零阵 [0,1;0,0] 不是任何 B^2）。所以一个奇异矩阵是否有平方根，敏感地取决于它的零特征值约当块——这正是约当形要解决的那类问题。