借约当形求矩阵指数

矩阵指数 exp(A) = I + A + A^2/2! + ... 是线性微分方程的钥匙：x'(t) = A x(t)、x(0) = x_0 的解是 x(t) = exp(t A) x_0。约当形把这个无穷级数变成一段简短、精确、逐块的计算。

把 A 写成 P J P^-1。则 exp(t A) = P exp(t J) P^-1，而 exp(t J) 是分块对角的，每个约当块对应一个指数。对单个块，exp(t J_k(lambda)) = e^{t lambda} * exp(t N)，其中 N 是幂零移位；由于 N^k = 0，exp(t N) = I + t N + t^2 N^2/2! + ... + t^{k-1} N^{k-1}/(k-1)! 是 t 的有限次多项式。

于是 exp(t A) 的各元都是 e^{lambda t} 乘以 t 的多项式的组合，多项式次数由块大小掌控：大小为 k 的块贡献直到 t^{k-1} e^{lambda t} 的项。这正是为何亏损线性 ODE 系统的解带有 t 的幂因子（共振），而非纯指数。

它的身影远不止于 ODE：在矩阵群一章里，exp 把李代数映到李群，而单参数子群 t -> exp(t A) 是基本的流。exp 的约当图像解释了它们的增长与振荡。（对复特征值 lambda = a + i b，e^{lambda t} = e^{a t}(cos b t + i sin b t) 把增长与旋转分开。）