借约当形求矩阵幂

直接计算大的 A^n 是没希望的，但有了约当形它就是一个逐块的公式。由 A = P J P^-1 得 A^n = P J^n P^-1，而 J 分块对角，所以你只需把每个约当块取 n 次幂——而单个块有干净的闭式。

用 f(x) = x^n 套“约当块的函数”公式。对块 J_k(lambda) = lambda*I + N，二项展开 (lambda*I + N)^n = sum_{j=0}^{k-1} C(n,j) lambda^{n-j} N^j 在 j = k-1 处终止，因为 N^k = 0。所以 J_k(lambda)^n 的各元是二项系数组合 C(n,j) lambda^{n-j}，落在第 j 条超对角线上。

答案的形状才是重点：对亏损矩阵，A^n 像（n 的多项式）乘以 lambda^n 那样增长。大小为 k 的块贡献一个关于 n 的、次数至多 k-1 的多项式。这就是为何一个模为 1 的特征值若处于非平凡约当块中，会使幂多项式式地增长，而非保持有界。

它驱动着离散动力系统 x_{n+1} = A x_n、马尔可夫链、斐波那契型递推、以及 PageRank 式迭代的渐近行为。主特征值的模决定指数式的增长／衰减，而它的块大小决定多项式修正——两者都直接从约当形读出。