约当链

约当链是生成一个约当块的那串向量。从一个特征向量出发，不断求解“向上一层”的方程：你搭起一架梯子 v_1, v_2, ..., v_k，算子把每一级推回到前一级（再加上 lambda 倍的自身）。这串相连的向量恰好是显出单个块的合适基底。

确切地说，对于特征值为 lambda 的 A，一条长度为 k 的约当链是向量 v_1, ..., v_k，满足 (A - lambda*I) v_1 = 0 且 (A - lambda*I) v_j = v_{j-1}（j = 2, ..., k）。最底部的 v_1 是真正的特征向量；其余的是广义特征向量，因为 (A - lambda*I)^j v_j = 0 但 (A - lambda*I)^{j-1} v_j != 0。开启整条链的向量 v_k 称为首（顶）广义特征向量。

在单条链张成的子空间上，按有序基 v_1, ..., v_k，算子的作用恰好等于单个约当块 J_k(lambda)：A v_1 = lambda v_1，且 A v_j = lambda v_j + v_{j-1}。所以链与块是同一对象的两种视角——块是矩阵，链是基底。

实践中求链要从顶部往下做：先在 ker(A - lambda*I)^k 中取一个不被更低次幂消灭的向量，然后反复作用 (A - lambda*I)，依次读出梯子的其余各级。把若干条独立的链堆叠起来，就得到完整的约当基。