广义特征子空间与块组

普通特征子空间 ker(A - lambda*I) 往往太小——每个约当块它只看到一个特征向量。广义特征子空间弥补了这点：G_lambda = ker(A - lambda*I)^m，其中 m 足够大（即 lambda 的指标）。它收集了 lambda 的所有链，故其维数等于 lambda 的代数重数。

关键的结构事实：整个空间是各广义特征子空间的直和，每个不同特征值对应一个。每个 G_lambda 都是 A-不变的，且 A 限制到 G_lambda 上只有 lambda 一个特征值；等价地，A - lambda*I 在那里幂零。所以 G_lambda 正是属于 lambda 的全部约当块的家——那个特征值的“块组”。

这是从幂零情形通往一般定理的桥。先分解为广义特征子空间；在每个上 A - lambda*I 幂零，于是幂零约当定理给出 lambda 的块；再跨特征值重新组装，便得完整的约当形。这个分解正是由部分分式／谱投影具体实现的那个分解。

与可对角化情形对照：A 可对角化，恰当每个广义特征子空间都与普通特征子空间重合（每块大小为 1）。差额 dim G_lambda 减去 dim ker(A - lambda*I)，逐个特征值地度量了 A 离可对角化有多远。