极小多项式与特征多项式
幂零指数
若算子 N 的某个幂为零，则称 N 幂零。幂零指数是使 N^k = 0 成立（而 N^(k-1) 仍非零）的最小正整数 k。它度量你必须施加 N 多少次才能把一切压垮为零——幂零的深度。
指数与极小多项式直接相连。对幂零算子，唯一的特征值是 0，极小多项式恰为 x^k，其次数 k 即指数。所以“求指数”与“求幂零算子的极小多项式”是同一项任务。对一般算子，特征值 lambda 的指数是使 (T - lambda I)^k 在广义特征子空间上为零的最小 k——即极小多项式中 (x - lambda) 的指数。
几何上指数是该特征值的最大约当块的大小。由大小为 4, 2, 1 的约当块构成的幂零算子，其指数为 4：最长的链需要施加四次才消亡。这正是为何极小多项式记录最大块的大小、而特征多项式记录总大小——指数是代数与块几何之间的桥梁。
实用上指数控制着许多事。它限定了计算广义特征子空间时你必须走多高（到指数为止即停），它等于最长约当链的长度，且它恰是核 ker(T - lambda I)^j 停止增长的阈值。知道它就告诉你算子在 lambda 处最坏情形的“剪切深度”。
N = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0] (single Jordan block, size 3)
N^2 = [0, 0, 1; 0, 0, 0; 0, 0, 0] != 0, N^3 = 0
index = 3, min poly = x^3
一个大小为 3 的幂零块指数为 3：要施加三次才到达零，极小多项式为 x^3。
指数至多等于代数重数（最大块 <= 总大小），且至多为 dim V。算子在 lambda 处可对角化当且仅当那里的指数为 1——lambda 处每个约当块的大小都是一。
又称
另见