幂零算子

幂零算子是指被升到足够高的幂次时归零的算子：存在某正整数 k 使 N^k = 0，而更低的幂未必为零。这样的最小 k 称为幂零指数。直观地，N 不断把向量推向零，至多施加 k 次后一切都被推到了尽头。

干净的谱事实：幂零算子唯一的特征值是 0。若 N v = lambda v 且 v 非零，则 N^k v = lambda^k v = 0 迫使 lambda^k = 0，故 lambda = 0。于是特征多项式为 x^(dim V)，极小多项式为 x^k。幂零算子（在非零 V 上）永不可逆，且仅在平凡情形 N = 0 时可对角化，因为唯一特征值为 0 的可对角化算子必已是零算子。

范例是把每个基向量送到前一个、把第一个送到零的移位：e_k -> e_(k-1) -> ... -> e_1 -> 0。施加 k 次后每个基向量都抵达 0。它的矩阵在上次对角线上是 1、别处是 0——一个特征值为 0 的若尔当块。每个幂零算子都是若干这样大小不一的移位块的直和。

幂零算子是若尔当理论的基石。在代数闭域上的空间里，任一算子在减去其半单（可对角化）部分后，在每个广义特征空间上分裂为一个幂零部分。所以单独理解幂零算子——它们的链、它们的若尔当块——正是通往若尔当标准形之前最后的技术关口。