对不变子空间的限制

V 的子空间 W 在算子 T 下不变，是指 T 从不把 W 中的向量带到 W 之外——即 T(W) 含于 W。这成立时，T 可被限制到 W 上：法则 v -> T(v) 作为算子 T|_W : W -> W 完全说得通，因为输出保证落回 W 中。不变性正是让你能在一个更小的舞台上研究 T 的条件。

不变子空间是大算子被拆成小算子的途径。最干净的来源是特征向量：任何特征空间都不变，任何特征向量的张成、任何广义特征空间、以及 T 的任何多项式的核与像也都不变。寻找不变子空间，与理解算子的内部结构是同一个问题。

矩阵上的红利是块三角形。把不变子空间 W 的一组基扩成 V 的整组基。在那组基下，T 的矩阵在左下角有一个零块：它形如 [A, B; 0, C]。左上块 A 就是限制 T|_W 的矩阵。若你够幸运，也有一个互补的不变子空间，则非对角块 B 也消失，矩阵成为块对角——T 分裂为两个较小算子的直和。

这种块结构是标准形背后的实用引擎。行列式与特征多项式沿对角块分解：det T = det A 乘 det C，T 的特征多项式是各块特征多项式之积。一次剥下一个不变子空间，你便把任一算子约化为可处理的部分。