短正合列

一列线性映射在某处正合，是指流入的映射的像等于流出的映射的核——进来的与消亡的是同一回事。短正合列打包了最基本的情形：0 -> U -> V -> W -> 0，在每个内部位置都正合。两端的两个零是平凡空间，它们迫使第一个内部映射单射、最后一个满射。

解读这三个条件。在 U 处正合：映射 0 -> U 的像只是 {0}，故 U -> V 的核为 {0}，即 U -> V 单射——U 作为子空间嵌在 V 中。在 W 处正合：映射 W -> 0 的核是整个 W，它必等于 V -> W 的像，故 V -> W 满射。在 V 处正合：U -> V 的像等于 V -> W 的核。合起来，W 被迫（同构于）商 V/U——这是披着列之外衣的第一同构定理。

于是典范的短正合列是 0 -> U -> V -> V/U -> 0：把子空间嵌入，再将其商掉。每个短正合列在同构意义下都是这个形状。它是那句结构性的话：V 由一个子对象 U 与一个商对象 V/U 搭成，不多也不少。

V 是否真为那两块的直和，是另一个叫作分裂的问题。短正合列分裂，是指存在一个截面 W -> V 把 W 放回 V 中作为 U 的补；此时 V 同构于 U (+) W。在域上，向量空间的每个短正合列都分裂——你总能选一个补子空间——这是向量空间所特有的，对一般的模则失效。无论是否分裂，维数总相加，dim V = dim U + dim W 恒成立。