商空间上的诱导映射

设算子 T : V -> V 保持一个子空间 U，即 U 是 T 不变的。那么 T 不只是从下方限制到 U——它还从上方下降到商空间 V/U。这个诱导映射，记作 T-bar，按显然的法则作用于陪集：T-bar(v + U) = T(v) + U。它是当你无视 U 内部一切之后，T 所呈现的样子。

这之所以被允许，恰恰因为不变性。要使该法则良定，同一陪集的两个代表元必须给出相同的答案。若 v 与 v' 相差 U 中一个元素 u，则 T(v) 与 T(v') 相差 T(u)，而 T(u) 落在 U 中正因为 U 不变——所以它们代表 V/U 的同一个陪集。没有不变性，公式将含糊不清；有了它，T-bar 是 V/U 上一个真正的、良定的算子。

限制与诱导映射是同一算子的两半。T|_U 抓住 T 在 U 内所为；T-bar 抓住 T 对其余部分模 U 所为。用矩阵说，把 U 的基扩到 V，块形 [A, B; 0, C] 同时显示二者：A 是对 U 的限制，C 是 V/U 上诱导映射的矩阵。块 B 是两块都看不见的唯一信息。

这是把算子归纳地一层层剥开的标准工具。找一个不变子空间 U，理解 T|_U 与 V/U 上较小的算子 T-bar，再递归。T 的特征值就是 T|_U 的特征值连同 T-bar 的特征值，这正是三角化与若尔当形如何一次一个不变层地搭建起来。