线性算子

线性算子是定义域与陪域为同一空间的线性映射：T : V -> V。仅这一处巧合——输入与输出住在同一个地方——就解锁了线性代数中最深刻的理论。因为你能把 T 的输出再喂回去，于是可以构造 T(T(v))，可以让 T 一再与自身复合，可以追问 T 如何把 V 翻来覆去地移动。

形式上，算子只是一个线性映射 V -> V，因此仍满足 T(a u + b v) = a T(u) + b T(v)。它的特别之处在于全体算子的集合，记作 End(V)（取自 endomorphism，自同态——把一个对象映到自身的映射）。算子正是我们在第二卷里要按其特征值、不变子空间与标准形（对角、若尔当）来分类的对象。一般的映射 V -> W 没有特征值，因为 v 与 T(v) 住在不同空间里，无法比较。

具体地说，给 V 取定一组基后，算子就成为一个方阵。方形恰是定义域等于陪域的代数影子。改换基底，矩阵按相似变换而变，但算子——那个几何作用——不变。整套标准形的把戏，就是寻找让这一固定作用看起来最简单的那组基。

算子是算子理论以及大部分物理与分析的核心对象。多项式上的求导、平面的旋转、马尔可夫转移——都是算子，也都臣服于同一套特征值与不变子空间的机器。