相似

两个方阵 A 与 B 相似，是指存在可逆 P 使 B = P^-1 A P。要点不在公式而在其含义：A 与 B 相似，恰当它们是同一个算子写在两组不同基下的矩阵。相似这一等价关系是在说：别让坐标的改换骗你以为这是两个不同的对象。

这里 P 是换基矩阵。若 A 是 T 在基 B 下的矩阵，而你换到一组以 P 各列为向量的新基，则这同一个 T 的矩阵变为 P^-1 A P。所以相似类与算子（相差一组基）一一对应。两个矩阵相似当且仅当它们代表同一个几何作用。

因为相似的矩阵是同一算子的伪装，算子的每一个真性质都是相似不变量：它们共享行列式、迹、秩、特征多项式、极小多项式、连同重数的特征值以及若尔当结构。反过来，任何系于特定基之物——个别的元、上三角性、对称性——一般都不被保持。

算子理论的宏大工程，是在每个相似类里选出尽可能简单的代表——一个标准形。在代数闭域上，那代表是若尔当形；在实数上则用实若尔当形或有理标准形。两个矩阵相似当且仅当它们有相同的标准形，这正是标准形为何能分类算子的缘由。