算子的共轭

共轭是把运算 A -> P^-1 A P 看作群所施行之事，而非一次性的公式。固定一个可逆算子 P；用 P 共轭就是把每个算子 A 送到 P^-1 A P 的映射。当 P 遍历整个一般线性群 GL(V) 时，你便得到 GL(V) 在算子集合上的一个作用，而该作用的轨道恰是相似类。

这一群作用的视角把一切重新组织。说 A 与 B 相似，就是说它们落在同一条轨道里。求一个标准形，就是为每条轨道求一个选定的代表。问哪些量是相似不变量，就是问算子上哪些函数沿轨道为常值——迹、行列式、特征多项式与极小多项式等等，正是这些不变的函数。

共轭尊重代数结构：它是 End(V) 的一个自同构。它保持和、数乘，尤其保持乘积，因为 P^-1(AB)P = (P^-1 A P)(P^-1 B P)。所以共轭就是用 P 给空间重新贴标签，再看同样的算子如何作用——复合、幂、多项式恒等式都随之转移。这就是极小多项式这样的不变量为何不能改变：它是一个代数关系，而代数被保持。

同一想法贯穿整个数学：群中的共轭、微分算子中的变量替换、物理中实现参考系改换的相似变换。每种情形里寓意都相同——共轭是视角的改换，而值得命名之物正是它所不动的那些。