自同态代数

当定义域与陪域一致时，算子空间 End(V) 获得了一个在一般 Hom(V,W) 上无法施行的额外运算：复合。给定两个算子 S 与 T，先 T 后 S 的复合仍是算子。于是 End(V) 不只是一个向量空间——它是一个带乘法的向量空间，而这恰是被称为代数的结构。

细说起来，End(V) 对加法、数乘与复合都封闭；复合对加法两侧都满足分配律；恒等算子 I 充当乘法单位元。这些正是带单位的结合代数的公理。乘法之所以结合，是因为函数复合结合；但它不交换：一般而言先 T 后 S 不同于先 S 后 T。

给 n 维空间 V 取定一组基，整个结构便具体化了：End(V) 同构于 n 行 n 列矩阵的代数，复合对应矩阵乘法。你对矩阵乘积所知的一切——不交换、单位矩阵的角色、可逆性——都是 End(V) 的代数结构在坐标下的样貌。

当你研究单个算子 T 时，这一视角便见成效，因为此时 T 的多项式，即诸如 a I + b T + c T^2 之物，在 End(V) 内构成一个交换子代数。极小多项式与凯莱-哈密顿定理都是关于这个子代数的陈述，它们驱动着标准形理论。