线性映射空间

在初等课程里，你一次只研究一个线性映射。第二卷的转变在于：把从空间 V 到空间 W 的所有线性映射当作一个整体来对待，并追问这个整体具有什么结构。答案很干净：你可以把两个线性映射相加，也可以用一个数去缩放一个线性映射，而两种结果仍然是线性的。于是从 V 到 W 的全体线性映射本身构成一个向量空间。

我们把它记作 Hom(V,W)，有时也写作 L(V,W)。加法是逐点的，(S + T)(v) = S(v) + T(v)，缩放是 (c T)(v) = c (T(v))。零映射是加法单位元。一旦给 V 取定一组基、给 W 取定一组基，每个映射就变成一个矩阵，映射相加就是矩阵逐项相加。所以在坐标下，Hom(V,W) 不过就是全体 m 行 n 列矩阵构成的空间。

数维数能把这件事讲得很具体。若 dim V = n、dim W = m，那么一个映射由它把 V 的 n 个基向量各自送到何处所完全确定，而每个目标都是 m 维空间 W 里的一个自由向量。这就是 n 个独立的选择，每个落在 m 维之中，于是 dim Hom(V,W) = m 乘 n。矩阵图景印证了这一点：一个 m 行 n 列的矩阵有 m 乘 n 个自由元。

好处是概念上的杠杆。把映射看作某个向量空间里的点，让你能够谈论映射的族、映射的极限、对偶空间（即 W 为标量域的特例）以及双线性型——全都靠把你已经信赖的线性代数提升一层来复用。