映射关于基的矩阵

线性映射 T : V -> W 是一个抽象的、无坐标的对象。要用它来计算，你需为定义域选一组基 B = (b_1, ..., b_n)、为陪域选一组基 C，于是 T 便化为一个矩阵。做法是：把 T 作用于每个定义域基向量，将结果 T(b_j) 关于 C 用坐标表示，再把那个坐标列作为矩阵的第 j 列。矩阵的各列就是基向量的像，按目标基写出。

一旦矩阵 [T]_{C<-B} 建好，计算便归结为矩阵与向量的乘法：若 x 是向量 v 关于 B 的坐标列，则 [T]_{C<-B} x 是 T(v) 关于 C 的坐标列。抽象映射与其矩阵做的是同一件事；矩阵不过是透过两扇选定的坐标窗口看到的映射。映射的复合，按匹配的次序，对应于它们矩阵的乘法。

关键的告诫是基依赖性。改换任一组基，矩阵都会改变，纵然映射纹丝未动。新的定义域基在右侧乘一个换基矩阵，新的陪域基在左侧乘另一个。所以同一个映射有无穷多个矩阵，而任何你想归于映射本身的性质都必须在这些改变下不变——秩，以及对算子而言的行列式、迹与特征值，正是这样的不变量。

这是连接本学科两半的桥梁：关于映射的抽象推理，与关于矩阵的具体计算。定理以无坐标方式陈述最为干净；算术则在某组基里完成。懂得如何在二者之间往返——以及哪些事实能挺过这往返——正是从业数学家的熟练。