可逆算子

算子 T : V -> V 可逆，是指存在一个算子 S 从两侧都撤销它：S T = T S = I。这个 S 若存在则唯一，记作 T^-1。可逆意味着 T 是双射——它不丢失信息（单射）又触及一切（满射）——所以它是空间的一次完美的、可逆的重排。

在有限维里发生了一个小小的奇迹：单射、满射、可逆三个条件彼此重合。这是秩-零化度的直接推论。若 T : V -> V 单射，则 ker T = {0}，故 dim im T = dim V，故 im T = V 即 T 满射；既单又满者是双射，于是可逆。单独验证单射或满射其一就为整套作保。（这种坍缩在无限维失效，那里会出现单侧行为。）

等价的有限维判据层出不穷：T 可逆，当且仅当其矩阵行列式非零、当且仅当 0 不是特征值、当且仅当其各列线性无关、当且仅当满秩、当且仅当其矩阵可行化简为单位矩阵。每条都是同一事实换装登场；挑最省力验证的那条即可。

V 上的可逆算子在复合下构成一个群，即一般线性群 GL(V)。它不是子空间——两个可逆算子之和可能奇异——但它对复合与求逆封闭，以恒等为单位元。GL(V) 是向量空间的对称群，也是相似与共轭上演的舞台。