秩-零化度定理（抽象形式）

第一卷靠在行化简后的矩阵中数主元列与自由列来证明秩-零化度。抽象形式证明同一个等式 dim ker T + dim im T = dim V，却根本不用矩阵——并在此过程中揭示它为何成立，而不只是它成立。

从第一同构定理出发：V / ker T 同构于 im T。同构的空间维数相等，故 dim(V/ker T) = dim im T。再用商空间的维数公式 dim(V/U) = dim V - dim U，取 U = ker T。便得 dim V - dim ker T = dim im T，移项即得 dim ker T + dim im T = dim V。整个证明就是把两个事实串在一起。

解读这个等式：秩 dim im T 数的是 T 真正输出的方向，零化度 dim ker T 数的是 T 摧毁的方向。定义域的每一个维度都被记账为或被保留（贡献给秩）或被塌缩（贡献给零化度）。无中生有或凭空消失皆无——维数在映射两侧守恒。

这个抽象证明不只是优雅而已。凡商空间仍为有限维处，它对无限维空间之间的映射逐字成立；因为没有选基，它在任何换基下都不变；它又是模与链复形的秩定理的样板。矩阵证明在算，抽象证明在解释。