核与像（无坐标）

在第一卷里，核是一个矩阵的零空间，像是它的列空间——两者都靠行化简来计算。无坐标的视角则完全抛开矩阵。对一个线性映射 T : V -> W，核是 V 中被送到零的向量之集，ker T = { v in V : T(v) = 0 }；像是 T 实际触及的向量之集，im T = { T(v) : v in V }。

两者各自自动是子空间：核是定义域 V 的子空间，像是陪域 W 的子空间。你可直接由线性性验证——若 T(u) = 0 且 T(v) = 0，则 T(u + v) = 0，像也类似——眼前没有基、没有矩阵、没有任何行运算。这些子空间是映射所固有的：换基时它们不变。

这种固有性正是要害。T 的矩阵依赖于基的选取，换基时随之改变；但核与像是只系于 T 本身的真实几何对象。因此它们的维数——零化度与秩——是映射的不变量，在每一套坐标系里都相同。对矩阵作行化简，不过是计算那些先于任何矩阵就已存在的对象的一种办法。

这里住着两条干净的判据。T 单射当且仅当 ker T = { 0 }（没有非零向量被压扁），T 满射当且仅当 im T = W（一切皆被触及）。心中持有这两个子空间而非一个矩阵，正是让同构定理显得理所当然的习惯。